Тема 13

Олигополия: Курно и Бертран

Когда на рынке несколько крупных игроков, прибыль каждого зависит от решений остальных. Как фирмы выбирают выпуск и цену с оглядкой на конкурентов, почему две классические модели дают такие разные ответы и что концентрация рынка говорит о ценах.

Сколько выпускать, если конкурент тоже расширяется

Совет директоров завода «Северный» утверждает производственный план на следующий год. Завод выпускает ПЭТ-гранулят, сырьё для пластиковых бутылок. В регионе есть ещё один производитель, завод «Южный», и вдвоём они продают весь гранулят региона. Товар однородный: покупателю всё равно, чей он. Поэтому цена на рынке одна, и она зависит от того, сколько оба завода вывезут на рынок.

Отдел продаж приносит новость: «Южный» запускает вторую линию и в следующем году выпустит 70 тыс. т вместо 50. Финансовый директор «Северного» предлагает ответить тем же, «чтобы не потерять долю». Коммерческий директор считает, что план можно не трогать.

Учебные цифры

Обратный спрос на гранулят: $$P = 200 - Q$$ . Здесь $$Q = q_1 + q_2$$ означает суммарный выпуск двух заводов (тыс. т за год), $$P$$ означает цену (тыс. ₽ за тонну). Предельные издержки обоих заводов одинаковы: 50 тыс. ₽ за тонну. Сейчас каждый выпускает 50 тыс. т, и цена равна $$200 - 100 = 100$$ тыс. ₽ за тонну.

Вопрос

«Южный» увеличит выпуск с 50 до 70 тыс. т. Как «Северному» выгоднее всего изменить свой план?

Увеличить выпуск, чтобы сохранить долю рынка Оставить 50 тыс. т, ведь издержки «Северного» не изменились Сократить выпуск, но меньше чем на 20 тыс. т Сократить ровно на 20 тыс. т, чтобы цена осталась прежней

Прибыль, которая зависит от двух решений

Прибыль «Северного» зависит от его выпуска $$q_1$$ и от выпуска «Южного» $$q_2$$ : оба влияют на цену.

$\pi_1(q_1, q_2) = (200 - q_1 - q_2)\,q_1 - 50\,q_1$

Сам «Северный» выбирает только $$q_1$$ . План конкурента $$q_2$$ он принимает как данность: это число, которое он узнал или ожидает. Поэтому нужна производная прибыли по $$q_1$$ при неизменном $$q_2$$ .

Частная производная

Когда функция зависит от нескольких переменных, а вы меняете только одну, считают частную производную (partial derivative): производную по этой переменной, в которой все остальные переменные считаются постоянными числами. Обозначение $\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1}$ ; «круглое d» напоминает, что остальное заморожено.

Правила те же, что для обычной производной. Раскроем скобки: $\pi_1 = 200q_1 - q_1^2 - q_2 q_1 - 50 q_1 = 150q_1 - q_1^2 - q_2\,q_1.$ Дифференцируем по $$q_1$$ , считая $$q_2$$ числом. Производная $$150q_1$$ равна 150, производная $$q_1^2$$ равна $$2q_1$$ , а $$q_2 q_1$$ представляет собой «число, умноженное на $$q_1$$ », и её производная равна $$q_2$$ : $\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 150 - 2q_1 - q_2.$ Проверка: при $$q_2 = 70$$ условие $$150 - 2q_1 - 70 = 0$$ даёт $$q_1 = 40$$ . «Северному» выгодно сократить выпуск с 50 до 40 тыс. т.

Частная производная показывает предельную прибыль от ещё одной тонны при заданном плане конкурента. Пока она положительна, тонну стоит добавить. Приравняем её к нулю и выразим $$q_1$$ через $$q_2$$ :

\begin{aligned} 150 - 2q_1 - q_2 &= 0\\ 2q_1 &= 150 - q_2\\ q_1 &= 75 - \tfrac{1}{2}\,q_2 \end{aligned}

Это функция реакции (reaction function), или функция лучшего ответа: лучший выпуск «Северного» при каждом возможном выпуске конкурента. Она убывает: каждая лишняя тонна «Южного» снижает лучший выпуск «Северного» на полтонны. У «Южного» те же издержки и тот же спрос, поэтому его функция реакции зеркальная: $q_2 = 75 - \tfrac{1}{2}q_1$ .

По сути это знакомое условие $$MR = MC$$ . Только предельная выручка теперь зависит от выпуска конкурента: $$MR_1 = 200 - 2q_1 - q_2$$ . Вместе с планом «Южного» сдвигается и оптимум «Северного».

Симуляция

Сыграйте за «Северный». На старте «Южный» планирует 100 тыс. т. Поставьте свой выпуск на вершину холма прибыли (нижний график) и нажмите «Сделать ход»: конкурент ответит своим лучшим ответом. Повторяйте, пока планы не перестанут меняться, и нажмите «Мы в равновесии». Затем включите линии реакции и посмотрите, где лежали ваши ходы.

Равновесие Курно

Лесенка ходов сходится к точке, где выпуск каждой фирмы служит лучшим ответом на выпуск другой. Это равновесие Нэша в игре, где фирмы выбирают объёмы. Его называют равновесием Курно (Cournot equilibrium) по имени французского математика Огюстена Курно, который описал такую модель в 1838 году. Ходить по очереди фирмам не обязательно: если каждая правильно предвидит план другой, они сразу выбирают эту точку.

Найти её можно и без лесенки, решив систему из двух функций реакции. Подставим вторую в первую:

\begin{aligned} q_1 &= 75 - \tfrac{1}{2}\left(75 - \tfrac{1}{2}\,q_1\right) = 37{,}5 + \tfrac{1}{4}\,q_1\\ \tfrac{3}{4}\,q_1 &= 37{,}5 \quad\Rightarrow\quad q_1 = 50\\ q_2 &= 75 - \tfrac{1}{2}\cdot 50 = 50\\ P &= 200 - 100 = 100\\ \pi_1 = \pi_2 &= (100 - 50)\cdot 50 = 2\,500 \text{ млн ₽} \end{aligned}

Для симметричной игры есть короткий путь: в равновесии $$q_1 = q_2 = q$$ , поэтому достаточно решить $q = 75 - \tfrac{1}{2}q$ , откуда $$q = 50$$ .

Сравним с двумя крайними случаями при тех же спросе и издержках.

Рынок	Выпуск, тыс. т	Цена, тыс. ₽/т	Прибыль отрасли, млн ₽
Монополия или картель	75	125	5 625
Дуополия Курно	100	100	5 000
Совершенная конкуренция	150	50	0

Две фирмы Курно выпускают больше монополиста, но меньше конкурентного рынка, и цена у них между монопольной и предельными издержками. Вместе они зарабатывают меньше, чем могли бы при монопольном выпуске: расширяясь, каждая сбивает цену и на продукцию конкурента, но этот ущерб в её расчёт не входит. Почему они не договариваются, разберём в следующей теме.

Стратегические заменители

Функция реакции в модели Курно убывает: чем больше выпускает конкурент, тем меньше выгодно выпускать вам. Такие решения называют стратегическими заменителями (strategic substitutes): агрессивный шаг одной фирмы (рост выпуска) вызывает у другой уступчивый ответ (сокращение). Поэтому в отраслях с тяжёлыми мощностями выгодно расширяться первым: увидев ваши новые мощности, конкурент урежет свои.

Переработка говядины в США, 2007–2008

В 2007 году четыре крупнейших переработчика говядины в США (Tyson, Cargill, National Beef и JBS Swift) столкнулись с падающим спросом и дорожающими кормами: кукуруза уходила на производство этанола. К середине года они теряли около 10 долл. на каждой голове скота. В мае 2007 года бразильская JBS купила Swift & Co. и стала крупнейшим переработчиком говядины в мире, а в сентябре добавила вторую смену на заводе в Грили (Колорадо), то есть ещё 2 000 голов в день. Маржа отрасли упала примерно до минус 70 долл. на голову, акции подешевели.

В январе 2008 года Tyson закрыла завод в Эмпории (Канзас) мощностью 4 000 голов в день, далеко от основных ферм. Аналитики одобрили решение, но заметили, что больше всех выиграла JBS. За следующий год JBS купила говяжий бизнес Smithfield, пятого по размеру переработчика, и попыталась купить National Beef; эту сделку заблокировало Министерство юстиции США.

В логике Курно Tyson сдвинулась вдоль своей функции реакции: конкурент добавил мощность, и её лучшим ответом стало убрать свою. Агрессивное расширение JBS окупилось так, как предсказывает модель.

Чтобы рассуждать так, уравнения решать не обязательно. Достаточно таблицы: ваш выпуск по строкам, ожидаемый выпуск конкурента, рыночная цена по кривой спроса и прибыль. Важно другое: оценивать решение о мощности при разных планах конкурентов, а не при сегодняшней цене.

Кукурузный сироп в США, 1970-е

В 1972 году производство глюкозо-фруктозного сиропа из кукурузы стало коммерчески выгодным: сиропом можно заменить сахар в газировке. Переработчикам кукурузы в США нужно было решить, сколько мощностей строить. Экономисты смоделировали решения 11 крупнейших компаний отрасли: каждая выбирает расширение, исходя из ожиданий о расширении остальных, а равновесием считается путь, на котором эти ожидания сбываются. Модель предсказала прирост мощностей на 9,1 млрд фунтов. Фактически, с учётом заводов, строившихся в 1977 году, отрасль добавила 9,2 млрд фунтов. В сроках модель ошиблась, но итог угадала почти точно.

Главное

В модели Курно лучший выпуск фирмы убывает с выпуском конкурента. Равновесие лежит на пересечении функций реакции: цена в нём ниже монопольной, но выше предельных издержек.

Проверьте себя

Обратный спрос на рынке: $$P = 300 - Q$$ . У двух фирм одинаковые предельные издержки 60. Конкурент выпускает 100 единиц. Каков лучший ответ вашей фирмы (выпуск в единицах)?

Ваш ответ

На том же рынке ( $$P = 300 - Q$$ , у обеих фирм $$MC = 60$$ ) найдите выпуск каждой фирмы в равновесии Курно.

Ваш ответ

Почему функция реакции в модели Курно убывает?

Рост выпуска конкурента повышает ваши предельные издержки Рост выпуска конкурента снижает цену, по которой продаётся ваша дополнительная единица Фирма хочет удержать суммарный выпуск рынка на прежнем уровне Фирма хочет сохранить свою долю рынка

Аналитик построил модель прибыли вашего завода $\pi_1(q_1, q_2)$ и сообщает: при текущих планах $\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 12$ млн ₽ на тысячу тонн. Что это значит для решения о выпуске?

Ваша прибыль сейчас равна 12 млн ₽ Если конкурент добавит тысячу тонн, ваша прибыль вырастет на 12 млн ₽ Выпуск уже оптимален, потому что производная положительна Ещё тысяча тонн при неизменном плане конкурента добавит около 12 млн ₽, выпуск стоит увеличить

Число конкурентов, концентрация и цена

Антимонопольный орган рассматривает сделку: два из четырёх одинаковых заводов ПЭТ-гранулята хотят объединиться. Экономии на издержках компании не обещают, зато говорят, что объединённая фирма «лучше спланирует загрузку». Аналитику ведомства нужно оценить, вырастет ли после сделки цена и насколько.

Учебные цифры

Спрос и издержки те же, что в первом разделе: $$P = 200 - Q$$ , $$MC = 50$$ тыс. ₽ за тонну. Но заводов теперь четыре, все одинаковые, и они конкурируют по Курно.

Вопрос

Как изменится цена гранулята после слияния двух заводов из четырёх, если издержки не изменятся, а оставшиеся три фирмы будут по-прежнему конкурировать по Курно?

Не изменится, ведь мощности на рынке остались те же Вырастет, но останется заметно ниже монопольной Поднимется до монопольной, ведь рынок стал концентрированнее Снизится, потому что объединённая фирма крупнее

Эффект разрушения выручки

Добавляя единицу выпуска, фирма получает цену этой единицы, но немного сбивает цену всех единиц, которые продаются на рынке. Это эффект разрушения выручки (revenue destruction effect). Монополист несёт его целиком. Фирма с долей 25% несёт только четверть, остальное ложится на конкурентов, и в своих расчётах она это не учитывает. Поэтому чем меньше доля, тем смелее фирма наращивает выпуск, а чем больше фирм, тем ниже цена.

Тот же эффект объясняет, почему ценовую дисциплину чаще всего ломают небольшие игроки: выгоду от лишней продажи они получают целиком, а падение цены почти полностью оплачивают крупные конкуренты.

Равновесие с N фирмами

Пусть на рынке $$N$$ одинаковых фирм, обратный спрос $$P = a - bQ$$ и предельные издержки $$c$$ . Прибыль фирмы $$i$$ зависит от её выпуска $$q_i$$ и от суммарного выпуска остальных $Q_{-i}$ :

$\pi_i = \bigl(a - b\,(q_i + Q_{-i}) - c\bigr)\,q_i$

Частная производная по $$q_i$$ (выпуск остальных заморожен) равна $a - bQ_{-i} - 2bq_i - c$ . В симметричном равновесии все выпускают одинаково, $Q_{-i} = (N-1)\,q$ , и условие оптимума даёт:

\begin{aligned} a - b\,(N-1)\,q - 2bq - c &= 0\\ q &= \frac{a - c}{b\,(N+1)}, \qquad Q = Nq = \frac{N}{N+1}\cdot\frac{a-c}{b}\\ P &= a - bQ = \frac{a + Nc}{N+1} \end{aligned}

При $$N = 1$$ получается монополия, при $$N = 2$$ дуополия из первого раздела. Проверим слияние «четыре в три» при $$a = 200$$ , $$b = 1$$ , $$c = 50$$ :

\begin{aligned} N = 4:&\quad P = \frac{200 + 4\cdot 50}{5} = 80\\ N = 3:&\quad P = \frac{200 + 3\cdot 50}{4} = 87{,}5\\ &\quad \frac{87{,}5}{80} - 1 \approx 0{,}094 = 9{,}4\% \end{aligned}

Что происходит с ростом N

Дробь $\frac{N}{N+1}$ с ростом $$N$$ приближается к единице: при $$N = 9$$ она равна 0,9, при $$N = 99$$ она равна 0,99. Значит, суммарный выпуск стремится к конкурентному $\frac{a - c}{b}$ , а цена $\frac{a + Nc}{N+1}$ стремится к предельным издержкам $$c$$ . Удобнее всего смотреть на наценку над издержками: $P - c = \frac{a + Nc}{N+1} - c = \frac{a - c}{N+1}.$ Она убывает обратно пропорционально $$N + 1$$ . Вторая фирма срезает монопольную наценку на треть (с $\frac{a-c}{2}$ до $\frac{a-c}{3}$ ), а десятая срезает её меньше чем на 10%. Проверка: при $$N = 9$$ цена $$(200 + 450)/10 = 65$$ , наценка 15 против 75 у монополиста.

Симуляция

Двигайте число фирм и следите за площадями: прибыль фирм (синяя) сжимается, выигрыш покупателей (золотой) растёт, чистые потери (красные) исчезают. Пунктир показывает цену после слияния двух фирм. Задача: найдите наименьшее число фирм, при котором слияние двух из них поднимает цену меньше чем на 4%.

Каждое слияние на рынке Курно поднимает цену, но тем слабее, чем больше фирм остаётся. Когда две фирмы сливаются в одну, цена прыгает на 25%; при переходе от семи фирм к шести она растёт меньше чем на 4%.

Посмотрите и на блок под графиком: наценка $$(P - MC)/P$$ при любом $$N$$ совпадает с отношением $H/\varepsilon$ . Это не совпадение.

Индекс Херфиндаля–Хиршмана

Реальные рынки редко состоят из равных фирм. Для них считают индекс Херфиндаля–Хиршмана (Herfindahl–Hirschman index, HHI), сумму квадратов рыночных долей всех фирм:

$H = s_1^2 + s_2^2 + \dots + s_N^2.$

Если доли выражены в долях единицы, $$H$$ лежит между 0 и 1. Если в процентах, то между 0 и 10 000; в таких пунктах индекс обычно публикуют антимонопольные органы. При $$N$$ равных фирмах $$H = 1/N$$ , поэтому $$1/H$$ называют эквивалентным числом фирм: рынок с $$H = 0{,}2$$ по концентрации похож на рынок из пяти равных фирм, сколько бы фирм в нём ни было на самом деле.

Квадрат даёт крупным фирмам больший вес. Доля четырёх крупнейших фирм (CR4) не меняется, если лидер отбирает 10 п. п. у второго игрока, а HHI в этом случае растёт.

Пример: доли 40%, 30%, 20% и 10%.

$\begin{aligned} H &= 40^2 + 30^2 + 20^2 + 10^2 = 1\,600 + 900 + 400 + 100 = 3\,000\\ \text{после слияния 3-й и 4-й:}\quad H &= 40^2 + 30^2 + 30^2 = 3\,400 \end{aligned}$

Рост на 400 пунктов, ровно $2 \cdot 20 \cdot 10$ : при слиянии фирм с долями $$s_a$$ и $$s_b$$ индекс растёт на $(s_a + s_b)^2 - s_a^2 - s_b^2 = 2\,s_a s_b$ .

Концентрация и наценка

В модели Курно у HHI точный смысл. Каждая фирма выбирает выпуск по правилу $$MR = MC$$ , как монополист из темы 10, но её предельная выручка учитывает падение цены только на её собственных продажах: $MR_i = P + q_i \cdot \frac{dP}{dQ}$ . Отсюда

$\frac{P - MC}{P} = \frac{q_i}{Q}\cdot\left(-\frac{dP}{dQ}\cdot\frac{Q}{P}\right) = \frac{s_i}{\varepsilon},$

где $$s_i$$ означает долю фирмы, а $\varepsilon$ эластичность рыночного спроса (положительное число). Средняя по рынку наценка, взвешенная по долям, равна

$\frac{P - MC}{P} = \frac{s_1^2 + \dots + s_N^2}{\varepsilon} = \frac{H}{\varepsilon}.$

Для монополии $$H = 1$$ , и получается знакомое правило $(P - MC)/P = 1/\varepsilon$ . Чем ниже концентрация, тем ближе цена к издержкам. Поэтому антимонопольные ведомства и начинают анализ слияний с HHI. Но только начинают: на цены влияет много других факторов, о них пойдёт речь дальше в этой и следующей теме.

Сначала определите рынок

HHI зависит от того, кого считать конкурентами. Антимонопольные органы США и Европы опираются на тест SSNIP (small but significant non-transitory increase in price): рынок очерчен правильно, если гипотетический единственный владелец всех его фирм смог бы выгодно поднять цену примерно на 5% хотя бы на год. Если покупатели уйдут к товарам за пределами выбранного круга и повышение окажется невыгодным, рынок нужно расширить.

Whole Foods и Wild Oats, 2007–2009

В феврале 2007 года сеть Whole Foods договорилась купить конкурента, сеть Wild Oats, за 670 млн долл. Федеральная торговая комиссия США (FTC) попыталась остановить сделку. Магазины сетей пересекались географически, с этим соглашались все; спор шёл о границах рынка. Если считать рынком «премиальные супермаркеты натуральных и органических продуктов», объединённая сеть получала очень большую долю во многих городах, а в 17 местах не имела бы конкурентов вовсе. Если же рынок включает все супермаркеты и Walmart, концентрация оставалась ниже порога, который FTC считала опасным.

FTC показала, что открытие Whole Foods поблизости сильно било по продажам Wild Oats и заставляло её снижать цены, а приход обычных сетей вроде Kroger или Safeway почти не влиял на Whole Foods. Внутренние документы Whole Foods называли Wild Oats близким конкурентом. Тем не менее в августе 2007 года суд отказал FTC в запрете, и слияние состоялось. В марте 2009 года стороны заключили мировое соглашение: Whole Foods продала бренд Wild Oats и 32 крупных магазина в городах, где работала сама.

Тот же спор возникает почти в каждой сделке: покупатель доказывает, что рынок широкий и доля скромная, а регулятор доказывает, что рынок узкий. Рассудить помогают данные: перекрёстная эластичность спроса (на сколько процентов вырастут продажи товара Б, если товар А подорожает на 1%), опросы о «втором выборе» покупателей, карты того, откуда покупатели приезжают.

Что говорят данные

Сравнивать концентрацию и наценки разных отраслей почти бесполезно: на наценку влияют бухгалтерия, регулирование, различия товаров, сила покупателей. Поэтому исследователи сравнивают один и тот же товар на разных местных рынках. Обзор таких работ по двум десяткам отраслей (цемент, железнодорожные перевозки, супермаркеты, розничный бензин) показал, что за редкими исключениями цены выше там, где рынок концентрированнее. В одном исследовании бензин на местных рынках, где три крупнейшие сети держали 60%, стоил в среднем примерно на 5% дороже, чем там, где они держали 50%. Похожие результаты получены для медицинского страхования, проката автомобилей и авиаперевозок.

Но структура рынка не приговор. Бывают рынки двух фирм с ценами у издержек и рынки пяти-шести фирм, где ценовой конкуренции почти нет. Как такое возможно, покажут следующий раздел и следующая тема.

Главное

На рынке Курно каждая фирма несёт лишь свою долю ущерба от падения цены, поэтому с ростом числа фирм цена приближается к издержкам. Средняя наценка равна $H/\varepsilon$ : концентрация говорит о рыночной власти, если рынок очерчен правильно.

Проверьте себя

Доли четырёх фирм на рынке: 50%, 25%, 15% и 10%. Найдите индекс HHI в пунктах (доли подставляйте в процентах).

Ваш ответ

Обратный спрос $$P = 120 - Q$$ , предельные издержки 20, на рынке 4 одинаковые фирмы, которые конкурируют по Курно. Найдите равновесную цену.

Ваш ответ

На рынке, где фирмы конкурируют по Курно, HHI равен 2 000 пунктов, а эластичность рыночного спроса равна 1,25. Какова средняя наценка $$(P - MC)/P$$ ? Ответ дайте в процентах.

Ваш ответ %

Производитель газированных напитков хочет купить конкурента. На рынке газировки их доли 45% и 15%. Компания утверждает, что конкурирует со всеми безалкогольными напитками, включая соки и воду. Какое доказательство лучше всего поддержит её позицию?

Соки и вода продаются в тех же магазинах и на тех же полках При росте цен на газировку на 5% много покупателей переходит на соки и воду, и повышение невыгодно Газировка, соки и вода удовлетворяют одну потребность, утоляют жажду Покупаемая компания приносит небольшую долю выручки покупателя

Олигополия: Курно и Бертран

Сколько выпускать, если конкурент тоже расширяется

Прибыль, которая зависит от двух решений

Равновесие Курно

Стратегические заменители

Проверьте себя

Число конкурентов, концентрация и цена

Эффект разрушения выручки

Равновесие с N фирмами

Индекс Херфиндаля–Хиршмана

Концентрация и наценка

Сначала определите рынок

Что говорят данные

Проверьте себя

Ценовая война: Бертран и пределы мощности

Ловушка Бертрана

Мощность меняет всё

Почему Курно и Бертран дают разные ответы

Проверьте себя

Кофейни на набережной: цены при различающихся товарах

Сколько покупателей придёт

Различия смягчают ценовую конкуренцию

Вход и монополистическая конкуренция

Проверьте себя