Микроэкономика для руководителей

Тема 12

Теория игр

Как решать, когда результат зависит и от ваших действий, и от действий соперника: матрица выигрышей, доминирующие стратегии, равновесие Нэша, лучший ответ как функция, деревья игр и достоверность угроз.

Реклама против рекламы

Два мобильных оператора делят рынок крупного региона. Перед новым сезоном каждый решает, запускать ли большую телевизионную кампанию за 15 млн ₽. Кампании заказывают заранее, и каждый оператор выбирает, не зная решения другого. Исследования показывают, что реклама почти не приводит в регион новых абонентов: она только переманивает их у конкурента.

Финансовому директору Оператора А нужно рекомендовать решение. Прибыль оператора зависит не только от его собственного выбора, но и от выбора конкурента. Такие ситуации изучает теория игр (game theory).

Учебные цифры

Без рекламы каждый оператор зарабатывает за сезон 50 млн ₽. Кампания стоит 15 млн ₽ и переманивает у конкурента абонентов, приносящих 20 млн ₽ прибыли. Если рекламируются оба, переманивания нет: каждый просто тратит 15 млн.

Игра (game) описывается тремя вещами: кто в ней участвует (игроки, players), что каждый может сделать (действия, actions, или стратегии) и что каждый получает при каждом сочетании действий (выигрыши, payoffs). Выигрыши удобно записать в матрицу (payoff matrix). Строки соответствуют действиям Оператора А, столбцы действиям Оператора Б, в клетке сначала выигрыш А, потом Б, млн ₽.

Б: реклама Б: без рекламы
А: реклама 35; 35 55; 30
А: без рекламы 30; 55 50; 50

Например, если рекламируется только А, он получает \(50 + 20 - 15 = 55\), а Б теряет абонентов и получает \(50 - 20 = 30\).

Вопрос

Вы финансовый директор Оператора А и не знаете, что решит Оператор Б. Что вы порекомендуете?

Доминирующая стратегия

Действие, которое лучше остальных при любом ходе соперника, называют доминирующей стратегией (dominant strategy). Если она у вас есть, разгадывать соперника не нужно. Для Оператора Б расчёт такой же, и реклама доминирует и для него.

Как читать матрицу выигрышей

Выигрыш игрока зависит от действий обоих: \(u_A(s_A, s_B)\), где \(s_A\) — действие А, \(s_B\) — действие Б. Чтобы найти лучший ответ (best response) А на ход Б, фиксируют столбец (ход Б) и сравнивают первые числа сверху вниз. Для Б фиксируют строку и сравнивают вторые числа слева направо. Типичная ошибка: сравнивать выигрыши А внутри строки. Но строку выбирает сам А, а столбец ему не подвластен.

\[\begin{aligned} \text{Б рекламируется:}\quad & u_A(\text{реклама}, \text{реклама}) = 35 > u_A(\text{без}, \text{реклама}) = 30,\\ \text{Б без рекламы:}\quad & u_A(\text{реклама}, \text{без}) = 55 > u_A(\text{без}, \text{без}) = 50. \end{aligned}\]

Реклама лучше в обоих столбцах, значит, она доминирует.

Проверка: если бы кампания стоила 25 млн ₽, осталась бы реклама доминирующей? Ответ: нет. Если Б не рекламируется, реклама дала бы А \(50 + 20 - 25 = 45 < 50\).

Симуляция

Обведите лучшие ответы обоих операторов и найдите исход игры. Попробуйте нарочно ошибиться и сравнить выигрыши не в том направлении: посмотрите, что ответит симуляция.

Дилемма заключённых

Каждый оператор рассуждает разумно, а вместе они получают по 35 вместо 50. Такую игру называют дилеммой заключённых (prisoners’ dilemma): у каждого игрока есть доминирующая стратегия, но исход, к которому они ведут, хуже для обоих, чем другой возможный. Название пришло из истории о двух подозреваемых, которых допрашивают по отдельности: каждому выгодно дать показания против другого, хотя молчать было бы лучше обоим.

Договориться не рекламироваться трудно. Такой договор нельзя исполнить через суд, а нарушить его выгодно: из клетки (50; 50) каждому хочется уйти в рекламу. Как помогает взаимодействие, которое повторяется из сезона в сезон, разберём в теме 14. Иногда выход приходит извне.

Запрет, который не огорчил табачные компании

В январе 1971 года в США вступил в силу запрет рекламы сигарет на телевидении и радио. Производители почти не сопротивлялись запрету. Расходы отрасли на рекламу в первый год заметно упали, а продажи сигарет не снизились. Многие экономисты считают, что запрет избавил компании от рекламной гонки, в которой реклама в основном переманивала курильщиков друг у друга. Насколько велик был этот выигрыш, исследователи спорят до сих пор.

Доминирующие стратегии встречаются и там, где о дилемме никто не думает. При двухступенчатом тендерном предложении покупатель компании обещает выкупить контрольный пакет по высокой цене, а остальные акции потом по низкой. Каждому акционеру выгодно продать свои акции, что бы ни делали остальные, хотя в среднем все получат меньше рыночной цены. Поэтому во многих странах такие предложения ограничены законом. В одном из вопросов ниже вы это посчитаете.

Главное

Если у вас есть доминирующая стратегия, угадывать ход соперника не нужно. Но доминирующие стратегии всех игроков могут вести к исходу, который хуже для всех: это дилемма заключённых.

Проверьте себя

Покупатель компании объявляет: первые 55% акций он выкупит по 108 ₽, а остальные после поглощения принудительно выкупит по 80 ₽. Если акционеры предложат больше 55% акций, у каждого по 108 ₽ купят одинаковую долю его пакета, а остальное по 80 ₽. До предложения акция стоила на бирже 100 ₽. Сколько в среднем получит за акцию акционер, если свои акции предложат все? Округлите до десятых.

₽

Что означает, что у игрока есть доминирующая стратегия?

Две сети магазинов решают, объявлять ли осеннюю распродажу. Выигрыши за сезон, млн ₽ (сначала сеть А, потом сеть Б):

Б: распродажа Б: без распродажи
А: распродажа 12; 10 20; 6
А: без распродажи 9; 15 16; 12

Сколько получит сеть А, если обе сети выберут свои доминирующие стратегии?

млн ₽

В регионе обсуждают закон, запрещающий операторам связи телерекламу. Как операторам из примера выгоднее отнестись к закону, если реклама только переманивает абонентов?

Утренний рейс

Две авиакомпании открывают одинаковый новый маршрут и в один день подают расписание на следующий сезон. Каждая выбирает время вылета: утро, день или вечер. Пассажиры больше всего хотят лететь утром, потом вечером, днём меньше всего. Если обе авиакомпании летят в одно время, они делят пассажиров и сбивают друг другу цены. Руководитель планирования авиакомпании А должен выбрать слот.

Учебные цифры

Прибыль рейса за сезон, если в своё время летает только одна авиакомпания: утро 60 млн ₽, вечер 50, день 30. Если обе летят в одно время, каждая получает 40% от этой суммы: утро 24, день 12, вечер 20.

Б: утро Б: день Б: вечер
А: утро 24; 24 60; 30 60; 50
А: день 30; 60 12; 12 30; 50
А: вечер 50; 60 50; 30 20; 20

Вопрос

Есть ли у авиакомпании А доминирующая стратегия?

Равновесие Нэша

Когда доминирующей стратегии нет, каждый строит ожидания о ходе другого. Устойчивым может быть только такой исход, в котором ожидания сбываются: каждый выбрал лучший ответ на то, что на самом деле сделал другой. Такой набор действий называют равновесием Нэша (Nash equilibrium), по имени математика Джона Нэша. Проверка простая: из равновесной клетки никому не выгодно уйти в одиночку.

Проверка равновесия

Пара действий \((s_A^*, s_B^*)\) — равновесие Нэша, если ни одному игроку не выгодно менять своё действие, пока другой не меняет своё: \[u_A(s_A^*, s_B^*) \ge u_A(s_A, s_B^*) \text{ для любого } s_A, \qquad u_B(s_A^*, s_B^*) \ge u_B(s_A^*, s_B) \text{ для любого } s_B.\] На матрице: обведите лучшие ответы обоих игроков. Клетка, где обведены оба числа, и есть равновесие.

Проверим клетку (утро; вечер). Для А фиксируем столбец «вечер» и сравниваем первые числа: 60, 30, 20. Максимум 60 у «утра». Для Б фиксируем строку «утро» и сравниваем вторые числа: 24, 30, 50. Максимум 50 у «вечера». Оба отвечают наилучшим образом, значит, это равновесие.

Проверка: равновесие ли клетка (утро; утро)? Ответ: нет. Каждому выгодно перейти на вечер: 50 вместо 24.

Доминирующие стратегии дают частный случай: если они есть у обоих, клетка, где оба их выбрали, тоже равновесие Нэша. В игре операторов это (реклама; реклама).

Симуляция

Обведите лучшие ответы обеих авиакомпаний и отметьте все равновесия. Их может быть больше одного.

Когда равновесий несколько

В игре два равновесия: (утро; вечер) и (вечер; утро). Авиакомпании разлетаются по разным слотам, но каждая хочет, чтобы утро досталось ей: 60 лучше 50. Сама матрица не говорит, какое равновесие сложится. Это решают ожидания игроков, история, переговоры или порядок ходов: та авиакомпания, которая первой твёрдо объявит утреннее расписание, скорее всего его и получит. К этому вернёмся в разделе 4.

Бывает и хуже: равновесия, одно из которых лучше другого для всех. Автопроизводитель думает, выпускать ли электромобили для нового города, а оператор зарядных станций думает, строить ли там сеть. Без станций машины не продать, без машин станции пустуют.

Сеть: строит Сеть: не строит
Завод: выпускает 40; 25 −30; 0
Завод: не выпускает 0; −20 0; 0

Здесь два равновесия: (выпускает; строит) и (не выпускает; не строит). Второе хуже для обоих, но устойчиво: если никто не вкладывается, никому не выгодно начинать в одиночку. Такое положение называют провалом координации (coordination failure). Похожие ловушки ждут любую новую технологию, которой нужны дополняющие друг друга товары разных производителей.

Откуда берётся равновесие

У равновесия Нэша три житейских толкования.

  • Договорённость, которая сама себя исполняет. Если производитель и оператор сети договорились запускаться вместе, договор не нужно исполнять через суд: каждому выгодно выполнить свою часть, если её выполняет другой. В дилемме заключённых наоборот: договор о (50; 50) нарушать выгодно, потому что эта клетка не равновесие.
  • Обычай. Если в компании совещания всегда начинаются на десять минут позже, приходить вовремя никому не выгодно: всё равно придётся ждать. Обычай держится, потому что от него никому не выгодно отступать в одиночку.
  • Итог проб и ошибок. Если игра повторяется, игроки подстраиваются под то, что делали соперники в прошлый раз, пока не перестанут менять решения.

День, когда Швеция поменяла сторону движения

До 1967 года в Швеции ездили по левой стороне дороги, хотя в соседних Норвегии и Финляндии ездили по правой. Левостороннее движение было равновесием: если все едут слева, каждому выгодно ехать слева. Перейти по одному нельзя. Поэтому переход устроили сразу для всех. 3 сентября 1967 года рано утром движение по всей стране остановили, и машины переехали на правую сторону. Готовились несколько лет: меняли знаки и светофоры, переделывали автобусы с дверями на левой стороне.

Главное

Равновесие Нэша — набор действий, из которого никому не выгодно уйти в одиночку. Равновесий может быть несколько, и игра сама не говорит, какое сложится: это решают ожидания, договорённости, история и порядок ходов.

Проверьте себя

Два производителя цемента одновременно решают, расширять ли мощности. Выигрыши за год, млн ₽ (сначала А, потом Б):

Б: не расширять Б: немного Б: сильно
А: не расширять 30; 30 24; 33 15; 31
А: немного 33; 24 26; 26 13; 20
А: сильно 31; 15 20; 13 2; 2

В игре одно равновесие Нэша. Сколько в нём получает производитель А?

млн ₽

Автопроизводитель и оператор зарядных станций из примера оказались в равновесии «никто не вкладывается». Какой шаг скорее всего переведёт их в лучшее равновесие?

Почему договорённость операторов связи не рекламироваться разваливается, а договорённость автопроизводителя и оператора станций о совместном запуске держится?

Сколько людей выделить на проект

Инженерная компания и маркетинговое агентство вместе выводят на рынок новый прибор для умного дома и делят прибыль проекта пополам. Каждая сторона решает, сколько своих специалистов выделить на проект. Инженеры делают продукт лучше, маркетологи продают его, и чем лучше продукт, тем больше отдача от маркетинга, и наоборот. Каждый специалист, отданный проекту, отвлечён от других заказов своей фирмы. Директор инженерной компании должен решить, сколько людей дать.

Учебные цифры

Прибыль проекта за год, млн ₽: \(\Pi = 18(A_1 + A_2) + A_1 A_2\), где \(A_1\) — число специалистов компании, \(A_2\) — агентства. Прибыль делят пополам. Отвлечь людей от других заказов тем дороже, чем больше людей отвлечено: издержки фирмы \(A_i^2\) млн ₽.

Выигрыш компании равен половине прибыли минус её издержки:

\[u_1(A_1, A_2) = 9A_1 + 9A_2 + \tfrac12 A_1 A_2 - A_1^2\]

Вопрос

Компания узнала, что агентство выделит на проект больше людей, чем планировало. Как это меняет лучший выбор компании?

Лучший ответ как функция

Здесь действие выражается числом, и таблица с обведёнными клетками не подходит: вариантов бесконечно много. Зато лучший ответ можно найти производной.

Функция лучшего ответа

Считаем действие партнёра \(A_2\) заданным числом и ищем вершину выигрыша компании по \(A_1\), как в теме 2. Слагаемое \(9A_2\) от \(A_1\) не зависит, его производная равна нулю; производная \(\frac12 A_1 A_2\) по \(A_1\) равна \(\frac12 A_2\): \[u_1'(A_1) = 9 + \tfrac12 A_2 - 2A_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad A_1 = 4{,}5 + \tfrac14 A_2.\] Получилась функция лучшего ответа (best response function, или кривая реакции): \[b_1(A_2) = 4{,}5 + \tfrac14 A_2.\] Например, если агентство выделит 10 человек, компании лучше выделить \(4{,}5 + \frac14 \cdot 10 = 7\).

Проверка: каков лучший ответ компании, если агентство выделит 2 человека? Ответ: \(4{,}5 + 0{,}5 = 5\).

Выигрыш агентства устроен так же, и его лучший ответ \(b_2(A_1) = 4{,}5 + \frac14 A_1\).

Функция лучшего ответа здесь растёт: чем больше людей у партнёра, тем больше выгодно дать самому. Такие действия называют стратегическими дополнениями (strategic complements). Если лучший ответ падает с действием другого, это стратегические заменители (strategic substitutes). Пример заменителей — два рыболовных судна на одной отмели: чем больше ловит одно, тем меньше рыбы остаётся и тем меньше смысла стараться другому. Или учебный проект, где каждого волнует только проходная оценка: чем больше работает сосед, тем меньше нужно работать самому. Эти понятия качественные: чтобы сказать, растёт или падает лучший ответ, часто хватает понимания ситуации, без точных чисел.

Симуляция

Сначала компания выделяет 2 человека, агентство 12. Нажимайте по очереди «лучший ответ» за каждого участника и следите, как точка движется по плоскости. Холм показывает, где выигрыш участника максимален при текущем выборе другого. Когда точка перестанет двигаться, нажмите «Это равновесие?».

Точка остановилась там, где пересекаются две кривые лучших ответов: каждая фирма отвечает наилучшим образом на действие другой. Это равновесие Нэша для игры с числовыми действиями.

Равновесие: две функции лучшего ответа сразу

В равновесии выполняются оба условия: \[A_1 = 4{,}5 + \tfrac14 A_2, \qquad A_2 = 4{,}5 + \tfrac14 A_1.\] Это система двух линейных уравнений (тема 5). Игра симметрична, поэтому ищем решение с \(A_1 = A_2 = A\): \[A = 4{,}5 + \tfrac14 A \quad\Rightarrow\quad \tfrac34 A = 4{,}5 \quad\Rightarrow\quad A = 6.\] Выигрыш каждой фирмы: \(9 \cdot 6 + 9 \cdot 6 + \frac12 \cdot 36 - 36 = 90\) млн ₽.

Равновесие не обязано быть лучшим исходом. Если бы фирмы выбирали число людей вместе, чтобы максимизировать общий выигрыш, каждая выделила бы по 18 человек и получила бы по 162 млн ₽. В равновесии людей втрое меньше, потому что каждая фирма платит за своих специалистов целиком, а получает только половину пользы от их работы: вторая половина достаётся партнёру. Это та же причина, по которой в командах работают меньше, чем было бы выгодно всем; к ней вернёмся в теме 18.

Главное

Лучший ответ — функция действия соперника. Её находят производной, считая действие соперника заданным числом. Равновесие Нэша там, где функции лучших ответов пересекаются.

Проверьте себя

В игре инженерной компании и агентства лучший ответ компании \(b_1(A_2) = 4{,}5 + \frac14 A_2\). Сколько специалистов выгодно выделить компании, если агентство выделит 18?

чел.

Прибор оказался удачнее, и прибыль проекта теперь \(\Pi = 24(A_1 + A_2) + A_1 A_2\); прибыль по-прежнему делят пополам, издержки фирмы \(A_i^2\). Сколько специалистов выделит каждая фирма в равновесии?

чел.

В какой ситуации действия игроков являются стратегическими заменителями?

Угроза ценовой войны

Молочный комбинат много лет почти единолично снабжает регион. Новая компания, назовём её новичком, думает построить там свой завод. Директор комбината публично заявляет: если новичок придёт, комбинат снизит цены так, что новичок разорится. Совет директоров новичка должен решить, входить ли на рынок.

В отличие от прошлых разделов ходы здесь идут по очереди: сначала новичок решает, строить ли завод, а комбинат отвечает, уже зная, вошёл ли новичок. Такие игры называют последовательными (sequential games) и рисуют в виде дерева (game tree). Узлы дерева обозначают моменты решений, ветви обозначают возможные действия, а на концах ветвей записаны выигрыши.

Дерево игры. Новичок выбирает «Не входить», и тогда выигрыши (10; 0), или «Войти». После входа комбинат выбирает «Мириться», выигрыши (5; 3), или «Ценовая война», выигрыши (2; −2). Первое число означает выигрыш комбината, второе выигрыш новичка, млн ₽ за три года.

Игра со входом на рынок. Выигрыши за три года, млн ₽: сначала комбинат, потом новичок (учебные цифры).

Вопрос

Новичок считает, что комбинат действует в своих интересах и знает свои выигрыши. Что ему делать?

Обратная индукция

Новичок решил игру, двигаясь от конца дерева к началу. Этот способ называют обратной индукцией (backward induction).

Обратная индукция

  1. Найдите узлы, после которых остаются только исходы. Для каждого выберите ход, лучший для того, кто там ходит.
  2. Замените такой узел выигрышами выбранного исхода.
  3. Повторяйте, двигаясь к началу дерева.

В игре со входом узел комбината заменяем на (5; 3), потому что \(5 > 2\). Тогда новичок сравнивает: \[\max\{\underbrace{3}_{\text{войти}},\ \underbrace{0}_{\text{не входить}}\} = 3 \quad\Rightarrow\quad \text{войти}.\]

Проверка: как поступит новичок, если вход обходится дороже и мир после входа даёт ему \(-1\) вместо 3? Ответ: не войдёт, \(0 > -1\). Комбинат при этом по-прежнему мирился бы, но до этого узла дело не дойдёт.

Угроза, которую невыгодно исполнять, называется пустой (empty threat). Достоверной (credible) угроза бывает, только если в момент исполнения она выгодна тому, кто угрожает. Решение, найденное обратной индукцией, называют совершенным в подыграх равновесием (subgame perfect equilibrium): в нём ход в каждом узле лучший для того, кто ходит, в том числе в узлах, до которых дело не доходит.

Стратегия в такой игре — полный план: что игрок сделает в каждом узле, где ходит. План нужен и для узлов, до которых дело не дойдёт, потому что именно ожидания о них определяют, куда пойдёт игра. В последней проверке план комбината «если войдут, мириться» не исполняется, но новичок всё равно учитывает его, решая не входить.

Как сделать угрозу достоверной

Слова угрозу не меняют. Достоверной её делает только изменение собственных будущих выигрышей, причём заранее и так, чтобы его нельзя было отыграть назад. Например, комбинат может построить большой завод. С большими мощностями выпускать много молока дёшево, и ответ на вход «завалить рынок молоком» становится выгодным.

Учебные цифры

Сначала комбинат выбирает размер нового завода: большой или малый. Потом новичок решает, входить ли. Потом комбинат выбирает выпуск: много (цены падают) или мало. Выигрыши (комбинат; новичок), млн ₽, указаны на концах ветвей в симуляции.

Симуляция

Решите игру обратной индукцией. Начните с узлов комбината справа: где ему выгоднее выпускать много, а где мало? Затем решите, что сделает новичок после каждого размера завода, и в конце выберите размер завода. Попробуйте начать с корня и посмотрите, что ответит симуляция.

Комбинат строит большой завод, хотя без угрозы входа малый дал бы больше: 13 против 11. Эти два миллиона и есть цена достоверной угрозы. Окупается она с запасом: при малом заводе новичок вошёл бы, и комбинат получил бы 6. Сознательное ограничение собственной свободы ради влияния на соперника называют стратегической приверженностью (commitment). О ней, о сдерживании входа и о том, когда оно окупается, подробно поговорим в теме 15.

Порядок ходов меняет и игры из раздела 2. Если авиакомпания А первой твёрдо объявит утренний рейс, лучшим ответом Б будет вечер (50 против 30 днём и 24 утром), и А получит 60. Возможность походить первой и связать себя дала А лучшее из двух равновесий. Это преимущество первого хода (first-mover advantage). Оно бывает не всегда: иногда выгоднее подождать и ответить, увидев ход соперника.

Главное

В последовательной игре решайте с конца: сначала поймите, что каждый сделает в последних узлах, потом выбирайте раньше. Угроза, которую невыгодно исполнять, не изменит поведения соперника. Изменить его может только необратимый шаг, меняющий ваши собственные выигрыши.

Проверьте себя

Платформа выбирает комиссию для разработчиков приложений: высокую или низкую. Разработчик, увидев комиссию, решает, выпускать ли приложение на платформе. Выигрыши (платформа; разработчик), млн ₽: высокая комиссия и разработчик пришёл: (8; −1); высокая и не пришёл: (0; 0); низкая и пришёл: (5; 4); низкая и не пришёл: (0; 0). Сколько получит платформа, если оба действуют в своих интересах?

млн ₽

Профсоюз грозит забастовкой, если зарплаты не поднимут. В каком случае эта угроза достоверна?

Вернёмся к игре со входом: если новичок вошёл, комбинат получает 5 млн ₽, мирясь, и 2 млн ₽, ведя ценовую войну. Комбинат может заранее подписать с торговыми сетями договор: если при появлении конкурента он не снизит цены, то выплатит сетям неустойку \(S\). При каком наименьшем \(S\) ценовая война станет для комбината не хуже мира? Ответ в миллионах рублей.

млн ₽

В игре с заводом равновесная стратегия новичка включает решение «войти, если завод малый», хотя в равновесии комбинат строит большой. Зачем нужна эта часть плана?