Тема 2
Маржинальный анализ
Как найти лучший объём, сравнивая выгоду и затраты от ещё одной единицы; что такое производная и почему на вершине холма касательная горизонтальна; когда это правило подводит.
Ещё один дом
Компания строит каркасные дома в пригороде и продаёт их до начала сезона. В плане восемь домов. Финансовый директор доволен: при восьми домах годовая прибыль положительна. Директор по продажам сомневается. Покупателей, готовых платить много, на все дома не хватит, и каждый следующий дом придётся продавать дешевле предыдущего. А бригады на последних домах будут работать сверхурочно, так что каждый следующий дом ещё и обходится дороже.
Учебные цифры
| Дом | Добавит выручки, млн ₽ | Добавит издержек, млн ₽ |
|---|---|---|
| 6-й | 3,0 | 2,6 |
| 7-й | 2,6 | 2,8 |
| 8-й | 2,2 | 3,0 |
Постоянные расходы компании (офис, техника, проектировщики) составляют 4 млн ₽ в год. С их учётом при восьми домах прибыль равна 6,4 млн ₽.
Вопрос
Стоит ли строить восьмой дом?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Изменение результата от ещё одной единицы называют предельным, или маржинальным (marginal). Предельная выручка восьмого дома равна 2,2 млн ₽, предельные издержки 3,0 млн ₽, предельная прибыль −0,8 млн ₽. Маржинальный анализ сравнивает варианты, которые отличаются на один шаг, и спрашивает только, что этот шаг добавляет. Оценить один шаг гораздо проще, чем пересчитать весь план.
Предельная величина
Идея. Вместо того чтобы считать всю прибыль для каждого варианта, считаем, на сколько она меняется при переходе к следующему.
Обозначения. Пусть \(\pi(Q)\) обозначает прибыль при \(Q\) домах. Предельная прибыль \(Q\)-го дома равна
\[M\pi(Q) = \pi(Q) - \pi(Q - 1).\]
Так же определяют предельную выручку (marginal revenue) \(MR(Q) = R(Q) - R(Q - 1)\) и предельные издержки (marginal cost) \(MC(Q) = C(Q) - C(Q - 1)\). Поскольку \(\pi = R - C\), предельная прибыль равна \(MR(Q) - MC(Q)\).
Пример. Восьмой дом:
\[ \begin{aligned} M\pi(8) &= MR(8) - MC(8) = 2{,}2 - 3{,}0 = -0{,}8 \\ \pi(7) &= \pi(8) - M\pi(8) = 6{,}4 - (-0{,}8) = 7{,}2 \end{aligned} \]
Условие оптимума. Объём \(Q\) лучше соседних, если шаг к нему не уменьшил прибыль, а следующий шаг её не увеличит:
\[M\pi(Q) \ge 0 \quad \text{и} \quad M\pi(Q + 1) \le 0.\]
Иначе говоря, в оптимуме предельная прибыль меняет знак с плюса на минус.
Проверьте себя. Седьмой дом: \(MR = 2{,}6\), \(MC = 2{,}8\). Выгоден ли он? (Нет: \(M\pi(7) = -0{,}2\).)
Заметьте, что постоянные 4 млн ₽ в этих расчётах не участвуют. Они одинаковы при любом числе домов и сокращаются, когда из \(\pi(Q)\) вычитают \(\pi(Q - 1)\). На вопрос «стоит ли вообще работать» они влияют, и к нему мы вернёмся в последнем разделе.
Пока золотой столбик выше синего, каждый новый дом поднимает прибыль, и верхний график идёт вверх. Шестой дом ещё добавляет 0,4 млн ₽, седьмой уже отнимает 0,2 млн. Вершина прибыли там, где столбики меняются местами: при шести домах прибыль равна 7,4 млн ₽. Верхний график состоит из ступеней, и высота каждой ступени равна разнице столбиков под ней. Общая прибыль складывается из предельных.
Средняя прибыль на дом здесь плохой ориентир. Она выше всего при четырёх домах (1,5 млн ₽ на дом), но пятый и шестой дома ещё добавляют прибыль. Они приносят меньше среднего, поэтому средняя падает, а общая прибыль растёт.
Маржинальный подход экономит силы: чтобы проверить план, не нужно считать прибыль всех вариантов, достаточно оценить соседние. Постепенные шаги проще оценить и труднее провалить, чем перестройку всего бизнеса с нуля. В марте 2001 года, после краха доткомов, онлайн-издание журнала Business Week писало, что интернет, который «должен был изменить всё», в большинстве отраслей принёс постепенную отдачу и не перевернул основной бизнес. У пошагового поиска есть и цена: он может не заметить далёкую, но лучшую альтернативу. Об этом раздел 4.
Главное
Решение о ещё одной единице принимают по её предельной прибыли \(MR - MC\). Общая прибыль, средняя прибыль и постоянные расходы на этот вопрос не отвечают.
Проверьте себя
Прибыль пекарни при выпуске \(Q\) партий хлеба в день (тыс. ₽): \(\pi(4) = 52\), \(\pi(5) = 58\), \(\pi(6) = 61\), \(\pi(7) = 60\). Чему равна предельная прибыль шестой партии?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Кафе решает, на сколько часов продлить работу вечером. Каждый дополнительный час обходится в 4 тыс. ₽ (смена, свет, охрана). Первый дополнительный час принесёт 9 тыс. ₽ выручки, второй 7 тыс., третий 5 тыс., четвёртый 3 тыс., пятый 1 тыс. На сколько часов выгодно продлить работу?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Прибыль мастерской при трёх заказах в неделю равна 50 тыс. ₽. Предельная прибыль четвёртого, пятого и шестого заказов: +8, +3 и −2 тыс. ₽. Какова прибыль при шести заказах?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Аналитик заметил, что средняя прибыль на дом выше всего при четырёх домах (1,5 млн ₽ на дом), и предлагает сократить план до четырёх. Как оценить этот совет, если пятый и шестой дома добавляют к прибыли 1,0 и 0,4 млн ₽?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Наклон кривой в точке
Завод питьевой воды продаёт в регионе \(q\) миллионов бутылок в месяц. Чтобы продать больше, приходится снижать оптовую цену для торговых сетей, поэтому выручка растёт всё медленнее. Отдел продаж оценил выручку (в миллионах рублей в месяц) так:
\[R(q) = 40q - 2q^2\]
Сейчас завод продаёт 6 млн бутылок, и выручка равна \(R(6) = 240 - 72 = 168\) млн ₽. Коммерческий директор хочет знать, сколько приносит дополнительная бутылка именно при нынешнем объёме.
Шаг «ещё одна бутылка» здесь бесполезен: одна бутылка из шести миллионов ничего заметно не меняет. А шаг в миллион бутылок слишком груб, потому что на нём отдача успевает измениться.
Учебные цифры
| Продажи \(q\), млн бутылок | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|
| Выручка \(R(q)\), млн ₽ | 150 | 168 | 182 |
Вопрос
От 5 до 6 млн бутылок выручка выросла на 18 млн ₽, от 6 до 7 млн на 14 млн. Сколько примерно приносит дополнительный миллион бутылок ровно при 6 млн?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Проведём прямую через две точки кривой: \((6;\ R(6))\) и \((6 + h;\ R(6 + h))\). Такую прямую называют секущей. Её наклон равен среднему приросту выручки на отрезке длиной \(h\). Если уменьшать \(h\), вторая точка подъезжает к первой, секущая поворачивается и в пределе ложится на касательную: прямую, которая касается кривой в этой точке и идёт по её направлению.
| \(h\) | \(R(6 + h)\) | Наклон секущей \(\dfrac{R(6 + h) - R(6)}{h}\) |
|---|---|---|
| 1 | 182 | 14 |
| 0,5 | 175,5 | 15 |
| 0,1 | 169,58 | 15,8 |
| 0,01 | 168,1598 | 15,98 |
Наклон подходит к 16.
Производная: наклон касательной
Идея. Если сильно увеличить маленький кусок гладкой кривой, он выглядит почти как прямая. Наклон этой прямой, касательной, показывает, как быстро растёт функция в данной точке.
Обозначения. Наклон касательной к графику \(R(q)\) в точке \(q\) называют производной (derivative) и пишут \(R'(q)\) или \(\dfrac{dR}{dq}\). Для выручки это предельная выручка \(MR(q)\), посчитанная для очень малого шага.
Пример. Найдём наклон секущей при любом \(h\), раскрыв скобки:
\[ \begin{aligned} R(6 + h) &= 40(6 + h) - 2(6 + h)^2 \\ &= 240 + 40h - 2(36 + 12h + h^2) \\ &= 168 + 16h - 2h^2 \\ \frac{R(6 + h) - R(6)}{h} &= \frac{16h - 2h^2}{h} = 16 - 2h \end{aligned} \]
Когда \(h\) стремится к нулю, наклон секущей стремится к 16. Значит, \(R'(6) = 16\): при 6 млн бутылок дополнительный миллион приносит около 16 млн ₽, то есть около 16 ₽ за бутылку. Тот же расчёт для произвольной точки \(q\) даёт наклон секущей \(40 - 4q - 2h\) и производную \(R'(q) = 40 - 4q\).
Приближение. При небольшом изменении \(\Delta q\) функция меняется примерно на наклон, умноженный на шаг:
\[\Delta R \approx R'(q) \cdot \Delta q.\]
Рост продаж с 6 до 6,5 млн даст около \(16 \cdot 0{,}5 = 8\) млн ₽ (точно 7,5 млн). Для больших шагов приближение грубеет, потому что по дороге наклон меняется.
Проверьте себя. Наклон выручки при \(q = 9\) равен 4. Сколько примерно добавят ещё 0,25 млн бутылок? (Около \(4 \cdot 0{,}25 = 1\) млн ₽.)
При \(q = 3\) наклон секущей при малых \(h\) подходит к 28: там дополнительный миллион бутылок приносит около 28 млн ₽. Формула \(R'(q) = 40 - 4q\) даёт то же: \(40 - 12 = 28\). При \(q = 6\) наклон равен 16, а при \(q = 10\) касательная горизонтальна: выручка достигла максимума, и небольшое изменение продаж её почти не меняет. Правее наклон отрицателен. Чтобы продать больше, заводу пришлось бы снизить цену так сильно, что выручка упала бы.
Главная ловушка здесь в том, чтобы путать наклон со средним. Средняя выручка \(R(q)/q\) равна цене бутылки; при \(q = 6\) это \(168 / 6 = 28\) ₽. Дополнительная бутылка приносит только 16 ₽, потому что ради её продажи дешевеют и все остальные бутылки.
Главное
Производная \(f'(q)\) равна наклону касательной к графику в точке \(q\). Она показывает, на сколько примерно изменится функция при небольшом изменении \(q\): \(\Delta f \approx f'(q) \cdot \Delta q\).
Проверьте себя
Месячная прибыль сети автомоек зависит от среднего числа машин \(q\), которые сеть обслуживает за день. При \(q = 50\) наклон прибыли равен 12 тыс. ₽ на одну машину в день. На сколько примерно изменится месячная прибыль, если в среднем за день будут обслуживать 50,5 машины?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Выручка завода воды равна \(R(q) = 40q - 2q^2\), её наклон \(R'(q) = 40 - 4q\). На сколько примерно изменится выручка (млн ₽), если при \(q = 12\) продажи вырастут ещё на 0,25 млн бутылок? Если выручка упадёт, введите число со знаком минус.
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
При \(q = 10\) касательная к кривой выручки завода горизонтальна. Что это означает?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Региональный менеджер рассуждает так: «Выручка 168 млн ₽ на 6 млн бутылок, значит, каждая дополнительная бутылка принесёт 28 ₽». В чём его ошибка?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Правила производной и вершина холма
Завод воды выбирает объём на следующий год. Постоянные расходы (аренда, оборудование, администрация) составляют 20 млн ₽ в месяц, и каждая бутылка обходится ещё в 8 ₽ (пластик, вода, доставка). В миллионах рублей:
\[C(q) = 20 + 8q\]
Прибыль равна разности выручки и издержек:
\[\pi(q) = (40q - 2q^2) - (20 + 8q) = 32q - 2q^2 - 20\]
Из предыдущего раздела известно, что выручка наибольшая при 10 млн бутылок: там её наклон равен нулю.
Вопрос
При каком объёме прибыль завода будет наибольшей?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Вершину холма можно найти без перебора: в ней касательная горизонтальна. Левее вершины наклон положителен, и рост выпуска поднимает прибыль; правее отрицателен. Значит, нужно найти \(q\), при котором \(\pi'(q) = 0\). Секущие для этого считать не нужно: есть три правила.
Правила производной
Идея. Производную многочлена находят по частям, по трём простым правилам.
- Постоянная. Производная числа равна нулю: \((20)' = 0\). График \(y = 20\) представляет собой горизонтальную прямую с нулевым наклоном.
- Степень. \((A \cdot q^n)' = n \cdot A \cdot q^{n - 1}\): умножьте на показатель и уменьшите показатель на единицу. Примеры: \((8q)' = 8\), \((2q^2)' = 4q\), \((q^3)' = 3q^2\), \((10q^{-1})' = -10q^{-2}\).
- Сумма. Производная суммы или разности равна сумме или разности производных.
Пример. Производная прибыли завода:
\[ \begin{aligned} \pi(q) &= 32q - 2q^2 - 20 \\ \pi'(q) &= 32 - 2 \cdot 2q - 0 = 32 - 4q \end{aligned} \]
Проверка на выручке: \(R'(q) = (40q)' - (2q^2)' = 40 - 4q\), при \(q = 6\) это 16, как и через секущие.
Условие максимума. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\[ \begin{aligned} 32 - 4q &= 0 \\ 4q &= 32 \\ q^* &= 8 \end{aligned} \]
Прибыль в вершине: \(\pi(8) = 256 - 128 - 20 = 108\) млн ₽ в месяц. В математике это условие называют условием первого порядка.
Проверьте себя. Найдите производную \(f(q) = 5q^2 - 3q + 7\). (Ответ: \(f'(q) = 10q - 3\).)
Точки на нижнем графике легли на прямую \(\pi'(q) = 32 - 4q\): производная параболы оказалась линейной функцией. Она пересекает ноль при \(q^* = 8\) млн бутылок. Постоянные 20 млн ₽ в производную не вошли. Сколько бы ни стоили аренда и оборудование, лучший объём остаётся 8 млн бутылок, а постоянные расходы влияют только на величину прибыли.
Предельная выручка равна предельным издержкам
Так как \(\pi = R - C\), по правилу суммы \(\pi'(q) = R'(q) - C'(q) = MR(q) - MC(q)\). Поэтому условие \(\pi' = 0\) можно записать так:
Для завода \(40 - 4q = 8\), откуда \(q^* = 8\). Ответ тот же, но в такой форме задачу удобно делить между подразделениями: отдел продаж оценивает предельную выручку, производство оценивает предельные издержки, а объём выбирают там, где они сравнялись. Изменение прибыли при небольшом шаге \(\Delta q\) примерно равно \((MR - MC) \cdot \Delta q\). Отсюда правило: если \(MR > MC\), выгодно продавать больше; если \(MR < MC\), выгодно продавать меньше.
В общем виде это главный принцип маржинального анализа: действие стоит расширять, пока предельная выгода больше предельных затрат. Так выбирают не только выпуск, но и рекламный бюджет, число сотрудников в смене или часы работы.
При q* наклоны выручки и издержек равны, MR = MC, и разрыв между кривыми, то есть прибыль, наибольший.
Главное
В вершине гладкого холма производная равна нулю. Для прибыли это условие \(MR = MC\): выпуск наращивают, пока ещё одна единица приносит больше, чем стоит.
Проверьте себя
Прибыль компании равна \(\pi(q) = 120q - 3q^2 - 500\) тыс. ₽, где \(q\) обозначает объём в тысячах штук. При каком \(q\) прибыль наибольшая?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Выручка фирмы равна \(R(q) = 90q - 1{,}5q^2\), издержки \(C(q) = 200 + 30q + 0{,}5q^2\). При каком объёме \(MR = MC\)?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Чему равна производная функции \(f(q) = 10q - q^2 + 7\)?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Аренда завода воды выросла с 20 до 35 млн ₽ в месяц. Как это изменит лучший объём выпуска, если завод продолжит работать?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Когда вершин несколько
Пивоварня продаёт 24 тыс. литров в месяц через собственные бары и соседние магазины. Управляющий проверил небольшие изменения: при 22 и при 26 тыс. литров прибыль ниже, чем при 24 тыс. Он докладывает совету директоров, что пивоварня работает на оптимальном объёме. Один из директоров предлагает другой вариант: поставить линию розлива и выйти в сети супермаркетов. Линия обойдётся дорого, а супермаркеты платят меньше баров.
Вопрос
Значит ли проверка управляющего, что 24 тыс. литров в месяц дают наибольшую прибыль из возможных?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Представьте путника в густом тумане на острове. Дальше пары шагов он не видит, но может ощупать землю вокруг. Если во все стороны путь идёт вниз, он стоит на вершине. Это и есть маржинальное условие. Если остров представляет собой одну гору, этого достаточно: любая вершина и есть самая высокая точка. Если гор две, путник может стоять на меньшей и не знать о большей.
Объём, который лучше всех соседних, называют локальным оптимумом (local optimum), а лучший из всех возможных называют глобальным оптимумом (global optimum). Условия \(\pi'(q) = 0\) и \(M\pi(Q) \ge 0 \ge M\pi(Q + 1)\) находят локальные оптимумы. Какой из них глобальный, приходится выяснять сравнением.
Вогнутость: когда вершина одна
Идея. Если наклон функции с ростом \(q\) всё время уменьшается, график изгибается вниз, как купол. У купола одна вершина, и условие \(f'(q) = 0\) находит именно её.
Обозначения. Скорость, с которой меняется наклон, тоже можно найти как производную, только от производной. Её называют второй производной и пишут \(f''(q)\). Если \(f''(q) < 0\) при всех \(q\), функция вогнутая (concave), и её график похож на купол. Если \(f''(q) > 0\), график похож на чашу, и точка, где \(f'(q) = 0\), оказывается дном, то есть минимумом.
Пример. Для прибыли завода воды:
\[ \begin{aligned} \pi'(q) &= 32 - 4q \\ \pi''(q) &= -4 < 0 \end{aligned} \]
С каждым миллионом бутылок наклон падает на 4. Это купол с единственной вершиной \(q^* = 8\).
Для функции \(f(q) = q^2 - 12q + 50\) производная \(f'(q) = 2q - 12\) равна нулю при \(q = 6\), но \(f''(q) = 2 > 0\). Это чаша, и \(q = 6\) даёт минимум, а не максимум. Так устроены, например, средние издержки, о которых пойдёт речь в теме 7.
Проверьте себя. \(\pi(q) = 50q - 2{,}5q^2\): купол или чаша? (Ответ: \(\pi''(q) = -5 < 0\), купол.)
Почему у пивоварни может быть два холма? До 30 тыс. литров в месяц она продаёт пиво через свои бары по высокой цене, и прибыль образует купол с вершиной в 24 тыс. литров. Чтобы продавать больше, нужна линия розлива. Это крупный постоянный расход, поэтому сразу за отметкой 30 тыс. литров прибыль проваливается. Зато при большом объёме литр обходится дешевле, и второй холм может оказаться выше первого. Купол ломается там, где появляется крупный постоянный расход или меняется технология.
Больше всего прибыли приносит работа с линией розлива при 50 тыс. литров в месяц: 300 тыс. ₽ против 228 тыс. ₽ на нынешнем объёме. Проверка соседей его не находит, потому что вокруг 24 тыс. литров все шаги ведут вниз. Найти вторую вершину можно, только оценив далёкие варианты.
Отсюда практическое правило. Маржинальный анализ хорошо проверяет и улучшает текущее решение. Но перед окончательным выбором нужно сравнить все вершины, на которые указывает устройство бизнеса (другая технология, другой канал продаж), и вариант не работать вовсе.
Проверка закрытия
Последний вариант особенно легко упустить. Пусть у фирмы большие постоянные расходы, которых можно избежать, если прекратить работу, например аренда, договор которой можно не продлевать. Условие \(\pi' = 0\) даёт лучший положительный объём, но прибыль в нём может оказаться отрицательной. Тогда выгоднее не производить ничего: вершина купола лежит ниже нуля.
Учебные цифры
Прибыль фирмы \(\pi(q) = 60q - 2q^2 - F\). Из \(\pi'(q) = 60 - 4q = 0\) получаем \(q^* = 15\) при любом \(F\).
\[\pi(15) = 900 - 450 - F = 450 - F\]
При \(F = 300\) фирма зарабатывает 150 и должна работать. При \(F = 500\) лучший объём даёт убыток 50, и выгоднее закрыться, если эти 500 действительно можно не платить.
В курсе такие случаи встретятся ещё несколько раз: у фирмы с крупными постоянными расходами, у конкурентной фирмы с U-образными средними издержками, у покупателя, которому предлагают абонемент и плату за каждое посещение. Во всех них к маржинальному условию добавляется одна проверка: не выгоднее ли не работать или не покупать вовсе.
Главное
Условие \(\pi' = 0\) находит вершины, но не говорит, какая из них самая высокая. Если прибыль образует купол (\(\pi'' < 0\)), вершина одна. Иначе сравните все вершины между собой и с вариантом не работать.
Проверьте себя
Прибыль кондитерской равна \(\pi(q) = 80q - 4q^2 - F\) тыс. ₽ в месяц, где \(F\) обозначает аренду, от которой можно отказаться, закрыв кондитерскую. При какой наибольшей аренде кондитерской ещё стоит работать, то есть прибыль в лучшей точке не отрицательна?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Средние издержки фабрики равны \(AC(q) = q^2 - 16q + 100\) тыс. ₽ на единицу, где \(q\) обозначает выпуск в тысячах единиц. Уравнение \(AC'(q) = 0\) даёт \(q = 8\). Что это за точка?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Новый директор провёл эксперименты: и рост выпуска на 5%, и снижение на 5% уменьшали прибыль. Какой вывод обоснован лучше всего?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.
Прибыль (тыс. ₽) при выпуске 10, 20, 30, 40, 50, 60 и 70 единиц равна соответственно 40, 65, 70, 55, 60, 85 и 75. Менеджер начинает с 10 единиц и увеличивает выпуск шагами по 10, пока прибыль растёт. На каком выпуске он остановится?
Задание изменилось после вашей последней попытки, поэтому прогресс по нему сброшен.