Вероятность и решения при неопределённости

Компания «Ключ» делает квас и лимонады. Отдел маркетинга предлагает вывести на рынок по всей стране холодный чай в новой бутылке. Решать нужно до весны: линию переналадки и рекламу оплачивают заранее. Предсказать успех никто не берётся, но у компании есть опыт отрасли: из 40 похожих запусков последних лет 8 стали хитами, 20 принесли скромную прибыль, а 12 провалились.

Вероятность

Деление на 40 можно сделать заранее: хиты составили \(8/40 = 0{,}2\) всех запусков, середняки \(0{,}5\), провалы \(0{,}3\). Эти доли и есть вероятности исходов, а 32 млн ₽ — ожидаемая прибыль.

Каждое слагаемое \(p_i x_i\) — вклад исхода в среднее. Его удобно видеть как площадь прямоугольника шириной \(p_i\) и высотой \(x_i\): тогда ожидаемое значение равно высоте прямоугольника шириной 1 с той же общей площадью.

Ожидаемая прибыль падает до нуля при вероятности провала 0,7. Каждый процентный пункт, который переходит от середняка к провалу, отнимает \(0{,}01 \cdot (20 - (-60)) = 0{,}8\) млн ₽. При \(P(\text{провал}) = 0{,}7\) хит даёт \(+40\), середняк \(+2\), провал \(-42\), в сумме ноль.

Симуляция показывает, что значит «ожидаемое». Ни один отдельный запуск не приносит 32 млн ₽: он даёт 200, 20 или −60. Но средняя прибыль по многим запускам приближается к 32, и тем точнее, чем запусков больше. Это закон больших чисел (law of large numbers). Для компании, которая выводит десятки продуктов, ожидаемое значение — надёжный ориентир. Для единственной крупной ставки, провал которой разорит компанию, важно ещё, насколько далеко исходы разбросаны вокруг среднего. Об этом раздел 4.

Помните и о том, откуда взялись вероятности. Сорок прошлых запусков — это опыт других продуктов в другие годы. Если холодный чай заметно отличается от них, оценки 0,2 и 0,3 стоит проверить, а решение пересчитать при других значениях. Как это сделать, покажет следующий раздел.

У «Ключа» появился третий вариант. Крупный производитель напитков предлагает купить рецепт холодного чая за 15 млн ₽: он сам выведет его на рынок. Теперь вариантов три: запустить самим, продать рецепт или отказаться. А консалтинговая компания предлагает исследование, которое, по её словам, точно скажет, каким окажется запуск: хитом, середняком или провалом. Просит она 30 млн ₽.

Дерево решений

Когда вариантов несколько, а за решениями следуют случайные события, рассуждение удобно нарисовать.

Прогноз меняет порядок событий: сначала случай (прогноз сообщает исход), потом решение. В дереве с прогнозом кружок стоит слева, а за каждой его ветвью следует квадрат, где компания выбирает, зная исход.

Прогноз стоит 22,5 млн ₽, и вся его ценность создаётся в одной ветви. Хит и середняк компания запустила бы и без прогноза. Только узнав заранее о провале, она меняет решение: продаёт рецепт за 15 вместо убытка 60. Выигрыш \(15 - (-60) = 75\) млн ₽ случается с вероятностью 0,3: \(0{,}3 \cdot 75 = 22{,}5\).

Безошибочных прогнозов не бывает, поэтому EVPI — верхняя граница: никакое реальное исследование рынка не стоит больше. Если консультанты просят 30 млн ₽, торговаться бессмысленно даже до разговора о точности их метода. Сколько стоит исследование, которое иногда ошибается, разберём в следующем разделе.

В дереве стоит проверить и сами вероятности. Ожидаемая прибыль запуска при вероятности хита 0,2 равна \(56 - 80\,p\), где \(p\) — вероятность провала. Продажа рецепта за 15 млн ₽ лучше, если \(56 - 80\,p < 15\), то есть при \(p > 0{,}51\). Пока оценка вероятности провала далека от этого порога, решение устойчиво к её ошибкам. Такую проверку называют анализом чувствительности (sensitivity analysis).

Тот же способ сворачивать дерево справа налево понадобится в теме 12, где ходы по очереди делают несколько игроков.

Точного прогноза не бывает, но «Ключ» может проверить чай сам: полгода продавать его в одном регионе и посмотреть на продажи. Проверка стоит 5 млн ₽ и иногда ошибается. Опыт отрасли такой: из напитков, которые потом стали хитами по всей стране, хорошие продажи в пробном регионе показали 80%; из середняков 40%; из провалов 10%.

Чай полгода продавали в Казани, и продажи оказались хорошими.

Считать в штуках

Проще всего не путаться, если перевести вероятности в штуки. Возьмите 1000 воображаемых напитков, разделите их по исходам, а затем каждую группу по результату проверки.

Хороший результат отсекает правую часть каждой группы. Остаётся 390 напитков, и вопрос «какова вероятность хита» теперь относится только к ним.

Вместе эти формулы называют формулой Байеса (Bayes’ rule): вероятность гипотезы \(H\) после наблюдения \(E\) равна

\[P(H \mid E) = \frac{P(E \mid H)\, P(H)}{P(E)}.\]

Здесь \(P(H)\) — вероятность до наблюдения (априорная, prior), \(P(H \mid E)\) — после него (апостериорная, posterior). Главная ловушка состоит в том, чтобы перепутать \(P(E \mid H)\) и \(P(H \mid E)\): «хиты почти всегда проходят проверку» не значит «прошедший проверку почти наверняка хит».

После хорошего результата хит вероятен на 41%, середняк на 51%, провал на 8%. После плохого: хит 7%, середняк 49%, провал 44%. Теперь решение можно принимать по результату проверки.

• Хороший результат. Ожидаемая прибыль запуска \(\frac{160 \cdot 200 + 200 \cdot 20 + 30 \cdot (-60)}{390} \approx 87{,}7\) млн ₽. Запускать.
• Плохой результат. \(\frac{40 \cdot 200 + 300 \cdot 20 + 270 \cdot (-60)}{610} \approx -3{,}6\) млн ₽. Лучше продать рецепт за 15.

Хороший результат бывает в 39% случаев, плохой в 61%. С проверкой ожидаемая прибыль равна \(0{,}39 \cdot 87{,}7 + 0{,}61 \cdot 15 \approx 43{,}4\) млн ₽ против 32 без неё. Проверка добавляет около 11,4 млн ₽ и стоит 5: её стоит провести. Безошибочный прогноз добавил бы 22,5. Ошибки проверки съедают половину ценности информации, но не всю.

Проверка была бы бесполезна, если бы хороший результат одинаково часто встречался у хитов, середняков и провалов. Тогда \(P(\text{хит} \mid \text{хороший}) = P(\text{хит})\), и результат ничего не меняет. События с таким свойством называют независимыми (independent): для них \(P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B)\).

Выпускница MBA хочет вложить 30 млн ₽ в кофейни. Можно купить одну кофейню целиком. Можно через франчайзинговую сеть купить по девятой доле в девяти таких же кофейнях в разных районах города. Каждая кофейня в среднем приносит 2 млн ₽ в год на эти вложения, но год на год не приходится: у одной рядом открылся конкурент, у другой полгода ремонтировали улицу.

Как измерить разброс

Ожидаемое значение говорит, сколько получится в среднем. Насколько далеко исходы уходят от среднего, измеряют стандартным отклонением.

При девяти независимых кофейнях разброс падает втрое, до 1 млн ₽, а доля убыточных лет с 23% почти до 2%. Ожидаемая прибыль при этом не меняется. Объединение рисков (risk pooling) не создаёт прибыли, оно делает её предсказуемой.

С общим риском картина другая. Пусть часть колебаний общая для всех кофеен города (\(\sigma_{\text{общ}} = 1{,}8\)), а остальное у каждой своё (\(\sigma_{\text{собств}} = 2{,}4\); проверьте: \(1{,}8^2 + 2{,}4^2 = 3^2\)). Усредняется только своя часть:

\[\sigma_{\text{среднего}} = \sqrt{\sigma_{\text{общ}}^2 + \frac{\sigma_{\text{собств}}^2}{n}}.\]

При десяти кофейнях это \(\sqrt{3{,}24 + 0{,}576} \approx 1{,}95\) млн ₽, а при сколь угодно большом числе не меньше 1,8. Общий шок не гасится, потому что во всех кофейнях он одного знака.

Объединение рисков объясняет многое в бизнесе: почему страховая компания спокойно берёт риск, от которого вы готовы откупиться; почему фирме с сотней продавцов неудачный месяц одного почти незаметен (к этому вернёмся в теме 18, где речь пойдёт о стимулах); почему инвесторы держат много разных акций.

Цветочный магазин закупает тюльпаны к 8 Марта: оптом по 60 ₽, в розницу по 200 ₽. Заказ нужно сделать за две недели, а нераспроданные 9 марта цветы никому не нужны. Хозяйка магазина по опыту прошлых лет уверена, что продаст не меньше 500 и не больше 1500 тюльпанов, и не видит причин считать какое-то число между ними более вероятным.

Распределение спроса

Спрос здесь может принять любое значение от 500 до 1500. Вероятность каждого отдельного числа ничтожна, поэтому говорят о вероятности интервала: «спрос окажется больше 1200».

Предельный анализ при неопределённости

Рассуждайте так же, как в теме 2: стоит ли закупить ещё один тюльпан? Тюльпан номер \(q\) продастся, только если спрос не меньше \(q\). Тогда он принесёт 200 ₽, иначе ничего. Его ожидаемая выручка \(200 \cdot P(D \ge q)\), а стоит он 60 ₽ при любом спросе.

Чем дороже упущенная продажа по сравнению с остатком, тем ближе закупка к максимуму спроса. Эту задачу называют задачей газетного киоска (newsvendor problem): так же решают, сколько печатать газет, печь круассанов или шить курток к сезону.

Оптимум 1200: здесь следующий тюльпан продаётся с вероятностью 0,3 и приносит в среднем \(0{,}3 \cdot 200 = 60\) ₽, ровно столько, сколько стоит. Кривая ожидаемой прибыли около вершины пологая: ошибка в 50 тюльпанов почти ничего не стоит, а ошибка в 300 уже заметна. Отдельные праздники складываются по-разному: в одни годы остаются лишние цветы, в другие их не хватает. Правильное решение не гарантирует хороший исход, оно даёт лучший результат в среднем.

Нормальное распределение

Равномерное распределение описывает полное незнание внутри границ. Чаще спрос складывается из множества мелких независимых причин: погода, праздник в выходной или будний день, акции соседей. Такие суммы распределены по колоколообразной кривой, которую называют нормальным распределением (normal distribution). Это следствие того же механизма, что в разделе 4: при сложении многих независимых величин их случайности частично гасят друг друга и складываются в колокол.

При нормальном спросе оптимум около 1105: колокол собирает больше вероятности около среднего, и закупать так много про запас не нужно. Правило то же самое: закупать до тех пор, пока вероятность продать следующую единицу не упадёт до \(c/p\).