Тема 1

Функции и модели

Как превратить управленческое решение в модель: что такое функция и её график, что означают наклон и пересечение прямой, как читать спрос в обе стороны и почему удвоение бюджета редко удваивает результат.

Кривые: когда удвоение не удваивает

Интернет-магазин полгода менял рекламный бюджет. При 100 тыс. ₽ в месяц было 1 500 заказов, при 400 тыс. ₽ их стало 3 000. Сейчас бюджет 400 тыс. ₽, и генеральный директор предлагает удвоить его до 800 тыс. ₽, «чтобы удвоить заказы».

Вопрос

Сколько заказов в месяц ожидать при бюджете 800 тыс. ₽, если связь бюджета и заказов сохранит прежнюю форму?

Около 4 200 Около 5 000 Около 6 000

Прямая описывает связь, в которой каждая следующая единица входа добавляет одинаково. Многие деловые связи устроены иначе. Отдача от рекламы убывает: первые деньги приводят самых отзывчивых покупателей, а следующие приводят всё менее отзывчивых. Доля подготовки в цене экземпляра падает с тиражом, но всё медленнее. Такие связи описывают степенные функции.

Степени, корни и правило удвоения

Идея. Степенная функция $y = k \cdot x^n$ отличается от прямой показателем $$n$$ , и он определяет форму кривой.

Обозначения.

$x^2 = x \cdot x$ , $x^3 = x \cdot x \cdot x$ .
$x^{1/2} = \sqrt{x}$ : число, которое в квадрате даёт $$x$$ .
$x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ , $x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$ : отрицательный показатель означает деление.
$$x^1 = x$$ , $$x^0 = 1$$ .

Правило удвоения. Если $$x$$ увеличить в 2 раза, то $$y = kx^n$$ умножится на $$2^n$$ , каким бы ни был $$k$$ .

Функция	$$n$$	$$y$$ при удвоении $$x$$	Пример
$$y = kx$$	1	растёт в 2 раза	расход бумаги на тираж
$y = k\sqrt{x}$	1/2	растёт в 1,41 раза	заказы от рекламного бюджета
$$y = kx^2$$	2	растёт в 4 раза	число пар сотрудников, которым нужно согласовывать работу
$$y = k/x$$	−1	падает в 2 раза	доля подготовки в цене экземпляра

Пример. Пусть магазин получает $150\sqrt{x}$ заказов при бюджете $$x$$ тыс. ₽.

$\begin{aligned} y(400) &= 150 \cdot \sqrt{400} = 150 \cdot 20 = 3000 \\ y(800) &= 150 \cdot \sqrt{800} \approx 150 \cdot 28{,}3 \approx 4243 \\ \frac{y(800)}{y(400)} &= \sqrt{2} \approx 1{,}41 \end{aligned}$

Проверьте себя. Во сколько раз изменится $$y = k/x$$ , если $$x$$ увеличить в 4 раза? (Ответ: уменьшится в 4 раза, потому что $4^{-1} = 1/4$ .)

Симуляция

Точки показывают заказы магазина при разных рекламных бюджетах. Меняйте показатель $$n$$ ползунком или кнопками готовых форм; коэффициент $$k$$ подбирается автоматически. Красные отрезки показывают, насколько модель ошибается в каждой точке, а синяя ступенька показывает, что происходит при удвоении $$x$$ . Найдите $$n$$ , при котором кривая проходит через точки, и нажмите «Кривая проходит через точки».

При $$n = 1$$ прямая сначала занижает, а потом завышает заказы; при $$n = 2$$ ошибка ещё больше. Данные ложатся на корень: $$n = 0{,}5$$ . Для генерального директора это значит, что удвоение бюджета до 800 тыс. ₽ даст около 4 200 заказов, а не 6 000. Каждые следующие 100 тыс. ₽ приносят меньше заказов, чем предыдущие. Стоит ли их тратить, решает сравнение этой убывающей отдачи с прибылью от заказа, и такому сравнению посвящена следующая тема.

Гипербола $$y = k/x$$ встретится в теме об издержках. У типографии Б подготовка стоит 44 000 ₽, и на экземпляр её приходится 44 ₽ при тираже 1 000, 22 ₽ при тираже 2 000 и 11 ₽ при тираже 4 000. Средняя стоимость экземпляра $44\,000/q + 12$ падает с ростом тиража и приближается к 12 ₽, но никогда их не достигает.

Почему кривые гладкие

Заказы, чашки и экземпляры считают целыми числами, а мы рисуем гладкие кривые. Это ещё одно упрощение модели. Если единица мала по сравнению с масштабом, разница между 4 242 и 4 243 заказами ничего не меняет, и величину удобно считать непрерывной, как литры воды. Для строителя, который сдаёт 8 домов за сезон, это уже не так: выбор «7 или 8 домов» дискретен, и округление может изменить вывод.

Три графика прибыли в зависимости от объёма. У строителя домов 15 вариантов объёма, и график состоит из 15 отдельных точек. У строителя бассейнов 100 вариантов, точки идут плотным рядом. У производителя воды тысячи вариантов, и точки сливаются в сплошную кривую. — Чем мельче единица по сравнению с объёмом, тем ближе набор точек к гладкой кривой и тем меньше значит округление до целых.

Главное

Форма функции несёт экономический смысл: прямая означает одинаковую отдачу от каждой единицы, корень означает убывающую отдачу, гипербола описывает постоянные затраты, распределённые на растущий объём. При удвоении $$x$$ функция $$y = kx^n$$ умножается на $$2^n$$ .

Проверьте себя

Магазин получает $150\sqrt{x}$ заказов в месяц при рекламном бюджете $$x$$ тыс. ₽. Сколько заказов ожидать при бюджете 900 тыс. ₽?

Ваш ответ

Стоимость тиража у типографии Б равна $44\,000 + 12q$ рублей. Какова средняя стоимость одного экземпляра при тираже 4 000? Ответ в рублях.

Ваш ответ ₽

Средняя стоимость экземпляра у типографии Б равна $44\,000/q + 12$ рублей. Как выглядит её график при тиражах от 500 до 10 000?

Горизонтальная прямая на уровне 12 ₽ Прямая, идущая вниз Кривая, которая сначала растёт, а потом падает Кривая, которая сначала круто падает, а потом выполаживается у уровня 12 ₽

В каком случае округление выпуска до целых единиц заметно меняет вывод модели?

Молочный завод выбирает выпуск от 40 000 до 45 000 литров в день Пекарня выбирает выпуск от 2 800 до 3 200 батонов в день Верфь выбирает, строить 3 или 4 яхты в год Типография выбирает тираж от 40 000 до 50 000 экземпляров

Функции и модели

Решение, цель и модель

Что вы можете выбрать, а что нет

Четыре вопроса модели

Проверьте себя

Прямая: постоянная часть и цена единицы

Проверьте себя

Спрос и обратная функция: цена, которая заполнит зал

Проверьте себя

Кривые: когда удвоение не удваивает

Почему кривые гладкие

Проверьте себя

Функция	$\(n\)$	$\(y\)$ при удвоении $\(x\)$	Пример
$\(y = kx\)$	1	растёт в 2 раза	расход бумаги на тираж
$y = k\sqrt{x}$	1/2	растёт в 1,41 раза	заказы от рекламного бюджета
$\(y = kx^2\)$	2	растёт в 4 раза	число пар сотрудников, которым нужно согласовывать работу
$\(y = k/x\)$	−1	падает в 2 раза	доля подготовки в цене экземпляра