Выигрыш от торговли и рыночное равновесие

Типография «Принт-Плюс» в Казани купила новую печатную машину, и старую нужно продать. Покупатель нашёлся быстро: небольшая типография «Буква» давно хочет расширить производство. Директор «Принт-Плюс» должен назвать цену.

Ценность, издержки, излишек

Наибольшая цена, которую покупатель готов заплатить, называется его ценностью товара, или готовностью платить (valuation, willingness to pay). Обозначим её \(V\). Если цена ниже \(V\), покупатель предпочитает купить, если выше, то уйти.

У продавца своя граница, дешевле которой он не продаст. Это его издержки \(C\) (cost). Иногда это расходы на производство, иногда то, от чего продавец отказывается ради сделки. У «Принт-Плюс» это 1,1 млн ₽ от дилера; такие издержки называют альтернативными (opportunity cost). Цена покупки пятилетней давности в издержки не входит: эти деньги потрачены при любом исходе.

Если сделка прошла по цене \(P\), выгода покупателя равна \(V - P\), а выгода продавца \(P - C\). Эти величины называют излишком покупателя и излишком продавца (surplus). Без сделки излишек у обоих нулевой.

Разность \(V - C\) называется выигрышем от торговли (gains from trade). Отсюда простое правило: сделка создаёт ценность, если \(V > C\). Если \(V < C\), ни одна цена не устроит обе стороны, и выгодной сделки нет.

Эффективность

Чтобы сравнивать исходы со стороны, экономисты используют эффективность по Парето (Pareto efficiency). Исход неэффективен, если есть другой исход, при котором кому-то лучше, а остальным не хуже. Если типографии не договорятся, исход неэффективен: любая цена между 1,1 и 1,8 млн ₽ сделала бы лучше обеих.

Критерий слабый: эффективных исходов много, и они различаются тем, как поделён выигрыш. Какой делёж справедливее, он не говорит.

Пока склад работает на шумной технике, исход неэффективен. Если гостиница будет платить складу, например, 250 тыс. ₽ в месяц за тихие погрузчики, выиграют оба: склад на 50 тыс. ₽, гостиница на 50 тыс. ₽. Эффективен любой исход с тихой техникой: выигрыш 100 тыс. ₽ создан, а размер платы решает только, как его поделить. Добровольно стороны договорятся о плате от 200 до 300 тыс. ₽, потому что только в этом интервале обе выигрывают по сравнению с шумом.

Как делится выигрыш

Как типографии поделят 0,7 млн ₽, решают переговоры. Если ни у кого нет преимущества, хорошее приближение — поровну: цена посередине между \(C\) и \(V\), здесь 1,45 млн ₽. Больше получает терпеливая сторона и сторона с репутацией несговорчивой.

Самая сильная позиция — право сделать предложение «бери или уходи» (take-it-or-leave-it offer): если другая сторона откажется, переговоры прекращаются насовсем. Продавец с таким правом назначит цену, равную ценности покупателя, и заберёт весь выигрыш. Покупатель с таким правом предложит цену, равную издержкам продавца.

Здесь нужна договорённость, которая будет действовать во всём курсе: если стороне всё равно, принять предложение или отказаться, она принимает. Без неё пришлось бы писать «на рубль больше издержек», а выводы остались бы теми же.

Во всех раундах размер выигрыша задавали только \(V\) и \(C\), а право последнего слова решало, кому он достанется. В третьем раунде выигрыша не было: ценность 0,9 млн ₽ меньше издержек 1,1 млн ₽, и любая сделка принесла бы убыток одной из сторон.

Цифровая площадка грузоперевозок соединяет грузовладельцев и перевозчиков. На завтра по маршруту Москва — Казань есть 8 заявок и 9 свободных машин. Каждой заявке нужна одна машина, каждая машина берёт один груз. Площадка зарабатывает долю от созданного выигрыша, поэтому продакт-менеджеру нужно решить, сколько перевозок должно состояться и кто должен в них участвовать.

Сначала отсортировать

Если перевозок будет \(Q\), выигрыш наибольший, когда везут грузы \(Q\) самых ценных заявок на \(Q\) самых дешёвых машинах. Любая замена ухудшает итог: если вместо машины с издержками 30 тыс. ₽ поедет машина за 63 тыс. ₽, выигрыш упадёт на 33 тыс. ₽, хотя сделок останется столько же.

После сортировки введём две функции объёма \(Q\):

• \(v(Q)\), суммарная ценность \(Q\) самых ценных заявок;
• \(c(Q)\), суммарные издержки \(Q\) самых дешёвых перевозчиков.

Общий выигрыш равен \(v(Q) - c(Q)\).

Предельная ценность и предельные издержки

Что даст ещё одна перевозка? Суммарная ценность вырастет на ценность следующей заявки, суммарные издержки на издержки следующей машины. Эти приросты называют предельной ценностью (marginal valuation, MV) и предельными издержками (marginal cost, MC) \(Q\)-й сделки: \[MV(Q) = v(Q) - v(Q-1) = V_Q, \qquad MC(Q) = c(Q) - c(Q-1) = C_Q.\] Дальше работает правило из темы о предельном анализе: добавлять сделки, пока \(MV(Q) \ge MC(Q)\). Пятая перевозка добавляет \(66 - 57 = 9\) тыс. ₽, шестая отняла бы \(60 - 63 = -3\). Эффективный объём \(Q = 5\): здесь линии предельной ценности и предельных издержек пересекаются.

Каждая ступенька шириной в одну сделку, поэтому её площадь равна высоте. Площадь под линией ценностей до \(Q\) равна \(v(Q)\), под линией издержек равна \(c(Q)\), а площадь между ними и есть общий выигрыш. При \(Q < 5\) часть выигрыша не создаётся. Разницу между наибольшим возможным выигрышем и фактическим называют чистыми потерями (deadweight loss): при четырёх перевозках они равны \(66 - 57 = 9\) тыс. ₽. При \(Q > 5\) потери создают лишние сделки, ценность которых ниже издержек.

В режиме «Кто первым откликнулся» все восемь пар договариваются добровольно, ведь в каждой ценность выше издержек. И всё же общий выигрыш не превышает 82 тыс. ₽ вместо 180: дорогие машины везут малоценные грузы, а дешёвые простаивают. Для эффективности мало правильного числа сделок, нужны ещё правильные участники.

Когда участников тысячи

У крупной площадки не 8 заявок, а тысячи. Ступеньки становятся такими узкими, что линия ценностей выглядит гладкой кривой. Суммарная ценность по-прежнему равна площади под ней.

Вычислять интегралы в курсе не понадобится: для прямых линий хватит прямоугольников и треугольников. Важна идея: площадь под кривой предельной ценности — это суммарная ценность, а под кривой предельных издержек — суммарные издержки.

Сколько должен стоить билет, если на все игры стоит очередь? Перед владельцами бейсбольного клуба Chicago Cubs этот вопрос стоял много лет.

Почему одни и те же места продавались то в несколько раз дороже номинала, то дешевле? Чтобы ответить и решить, какую цену назначать, разберём учебный рынок перепродажи.

Спрос и предложение — те же ступеньки

Кривая спроса \(Q_d(P)\) отвечает на вопрос, сколько покупателей ценят билет не меньше чем в \(P\). Это та же линия предельной ценности из предыдущего раздела, только прочитанная в обратную сторону: по цене находим количество. Кривая спроса — обратная функция к \(MV(Q)\). Точно так же кривая предложения \(Q_s(P)\) показывает, у скольких продавцов издержки не выше \(P\); это обратная функция к \(MC(Q)\).

Поэтому и график рисуют с ценой по вертикали: одна и та же линия читается двумя способами, как спрос (по цене находим количество) и как предельная ценность (по количеству находим цену).

Почему цена одна

Если сделки видны всем, искать партнёра недорого и торговля повторяется, все сделки идут примерно по одной цене. Зачем платить 5 000 ₽, если рядом продают за 4 000? Цена, по которой торгуют другие, становится запасным вариантом каждого участника.

Рынок в равновесии (equilibrium), когда при сложившейся цене \(P^*\) торгуют все, кто хочет торговать по ней, и число покупок равно числу продаж: \(Q_d(P^*) = Q_s(P^*)\). Если цена ниже, возникает дефицит (shortage), и цена растёт. Если выше, возникает избыток предложения (surplus), и продавцы снижают цену.

Кто сколько выиграл

Покупатель, который ценит билет в 5 000 ₽ и купил его за 4 000, получил излишек 1 000 ₽. Сложим излишки всех покупателей: на графике это площадь между кривой спроса и линией цены. Её называют излишком потребителей (consumer surplus, CS). Так же излишек производителей (producer surplus, PS) — площадь между линией цены и кривой предложения. Вместе они составляют общий выигрыш от торговли.

Равновесие эффективно. Каждый, кто купил, ценит билет не меньше чем в 4 000 ₽, а у каждого, кто продал, издержки не выше 4 000 ₽. Среди тех, кто не торговал, ценность покупателей не выше 4 000 ₽, а издержки продавцов не ниже. Не осталось ни одной выгодной пары и не прошло ни одной убыточной сделки. Рынок нашёл те же сделки, что выбрал бы оптимизатор площадки из предыдущего раздела, хотя каждый участник думал только о себе.

При цене ниже равновесной сделок меньше, чем могло бы быть: их ограничивает предложение. Красный треугольник — выигрыш, который не создан. Симуляция считает излишек покупателей так, будто билеты достались тем, кто ценит их выше всех; в жизни их получает тот, кто успел первым, и излишек ещё меньше. В эту щель и встали брокеры Cubs: они покупали у клуба по номиналу и продавали по цене, близкой к равновесной, забирая разницу себе.

Когда спрос упал, равновесная цена опустилась. Тот, кто держал бы прежнюю цену, получил бы избыток: продать хотят больше, чем купить. В 2011 году брокеры Cubs оказались с билетами, которые никто не брал даже по номиналу.

Допустим, городские власти обсуждают сбор 100 ₽ с каждой поездки на такси, заказанной через агрегатор, чтобы финансировать ремонт дорог. Агрегатор спорит с мэрией о деталях: брать сбор с пассажира отдельной строкой сверх тарифа или удерживать его из выплат водителю. Директору агрегатора нужно решить, за какой вариант бороться.

Две цены вместо одной

Со сбором у каждой поездки две цены: пассажир платит \(P_b\) (от buyer), водитель получает \(P_s\) (от seller), а разница уходит в бюджет: \(P_b - P_s = T\), где \(T\) — сбор. Пассажиры решают, ехать ли, глядя на \(P_b\); водители решают, выходить ли на линию, глядя на \(P_s\). Рынок в равновесии, когда пассажиры хотят купить по \(P_b\) столько поездок, сколько водители готовы продать по \(P_s\).

Кто перечисляет сбор, в эти уравнения не входит. На графике это выглядит так: если сбор входит в тариф, кривая предложения в координатах «цена пассажира» поднимается на 100 ₽; если сбор берут сверху, кривая спроса в координатах «цена водителя» опускается на 100 ₽. В обоих случаях получаются те же 6 800 поездок, 660 и 560 ₽. Различаются только цифры в приложении: 660 ₽ в первом случае и «560 ₽ + 100 ₽» во втором.

Этот вывод верен для любого налога на сделку. В большинстве стран налог на добавленную стоимость включён в цену на ценнике, а в США налог с продаж добавляют на кассе. Ценники выглядят по-разному, но ни итоговая плата покупателя, ни выручка магазина за вычетом налога от этого соглашения не зависят. Так же и налоги на зарплату можно формально делить между работником и работодателем как угодно: в равновесии зарплата на руки и затраты работодателя будут те же.

Как делится бремя налога, решает чувствительность сторон к цене. Здесь водители реагируют сильнее (30 поездок на каждый рубль против 20 у пассажиров), поэтому большую часть сбора, 60 ₽ из 100, несут пассажиры.

Чистые потери

Сбор отсекает поездки, в которых ценность для пассажира превышает издержки водителя меньше чем на 100 ₽. Раньше они происходили и создавали выигрыш, теперь их нет: в день не состоится \(8000 - 6800 = 1200\) поездок. Потерянный выигрыш — треугольник между спросом и предложением от 6 800 до 8 000 поездок: \[DWL = \tfrac12 \cdot 100 \cdot (8000 - 6800) = 60\,000,\] то есть 60 000 ₽ в день. Доход бюджета \(T \cdot Q = 100 \cdot 6800 = 680\,000\) ₽ в день потерей не считается: эти деньги перешли от участников рынка к городу. Потеря — только треугольник, выигрыш, который не достался никому.

Переключатель «кто платит» не сдвигает ни одной цифры, кроме тарифа в приложении. Размер сбора меняет всё остальное.

Потери растут как квадрат сбора. Удвоение со 100 до 200 ₽ увеличивает их вчетверо, с 60 до 240 тыс. ₽ в день, а доход бюджета растёт меньше чем вдвое, с 680 тыс. до 1,12 млн ₽.

Из этого не следует, что налоги не нужны. Следуют два вывода. Решая, тратить ли деньги, государству стоит учитывать полную цену их сбора, вместе с чистыми потерями. А нужную сумму дешевле собирать так, чтобы потери были меньше: низкими ставками с широкой базы и там, где покупатели и продавцы слабо реагируют на цену. В простой модели лучше всего был бы налог, который вообще не зависит от сделок (паушальный налог, lump-sum tax). На практике налоги ещё и распределяют нагрузку между богатыми и бедными, поэтому задача сложнее.

Для бизнеса важна та же арифметика: комиссия маркетплейса или агрегатора — такой же клин между тем, что платит покупатель, и тем, что получает продавец.